Définitions

\(\triangleright\) Définitions des solides indéformables

Un solide indéformable est fait de particules mésoscopiques de masse \(dm={{\rho d\tau}}\) réparties continûment.
On appelle solide indéformable les solides pour lesquelles la distance entre des points \(A\) et \(B\) quelconques ne varie pas au cours du temps.

Masse

\(\triangleright\) Masse d'un solide indéformable

Le solide indéformable est fait de particules mésoscopiques de masse différentes.
Pour chaques particules de volume \(d\tau\) et de masse volumique \(\rho(M)\), leur masse est la suivante:
$$dm={{\rho(M)d\tau}}$$
La masse du solide \((S)\) indéformable est donc:
$$M={{\iiint_{M\in S} dm(M)}}=\iiint_{M\in S} \rho(M) d\tau$$

\(\triangleright\) Cas de la masse d'un solide indéformable homogène

Si \((S)\) est homogène: \(\rho(M)=\rho_0\) alors
$$M=\rho_0\iiint d\tau={{\rho_0V_{S} }}$$

Centre de masse

Centre de masse (Pour un solide indéformable)

Moment d'inertie

Moment d'inertie (Pour un solide indéformable)

Moment des forces

Moment d'une force Moments cinétique

Théorèmes

Théorème d'Huygens

Champ de vitesse

\(\triangleright\) Vitesse d'un point d'un solide indéformable

Dans un solide indéformable \((S)\) les vecteurs vitesse sont corrélés: connaissant \(\vec\Omega\) et la vitesse en un point (ex: Centre de masse), on en déduit la vitesse en tout point \(M\in S\):
$$\vec V_{M_R}={{\vec V_{C_R}+\vec\Omega \wedge \vec{CM} }}$$
:
Soit un solide \((S)\), \(R_s\) le référentiel du solide et \(R\) le référentiel d'étude galiléen.
On pose \(\vec \Omega=\vec \Omega_{R_s/R}\)
\(S\) est un solide indéformable si la distance \(AB\) entre 2 particules queqlconque de \(S\) est constante. (\(||\vec {AB}||=c\quad \forall A,B\in s\))
Si \((S)\) est indéformable, alors \((S)\) est nullement déformé par les actions subies.
Pour un observateur lié à \(R\) : \(\vec {AB}=\vec c\iff \frac{d\vec{AB} }{dt}=\vec 0\)
Conséquence : Dans \(R\), on a:
$$\left.\frac{d\vec{AB} }{dt}\right]_R=\left.\frac{\vec{AB} }{dt}\right]_{R_S}+\vec\Omega\wedge \vec{AB}$$
On déduit de l'invariance des distances entre les points de \((S)\):
$$\left.\frac{d\vec{AB} }{dt}\right]_R=\vec\Omega\wedge \vec{AB}$$
On cherche maintenant à déterminer la vitesse des point \(A\) et \(B\):
$$\left.\frac{d\vec{AO} }{dt}\right]_R+\left.\frac{d\vec{OB} }{dt}\right]_R=\vec \Omega\wedge\vec{AB}$$
$$-\vec V_A+\vec V_B=\vec \Omega\wedge \vec{AB}$$
On a finalement:
$$\vec{V_{B/R} }=\vec V_{A_R}+\vec \Omega\wedge\vec{AB}$$

Energies

Energie Cinétique (Pour une rotation d'un solide indéformable)
Théorème du moment cinétique (Moment cinétique d'un solide indéformable en rotation)

Statique d'un solide indéformable

Pourqu'un solide \((S)\) soit en équilibre dans un référentiel galiléen, il faut que:

• \(\sum\vec F_{ext}=\vec 0\) (pas de translation)
• \(\sum\vec M_0(\vec F_{ext})=\vec 0\) (pas de rotation)